opebet手机app下载在E上f(x)可以分解为一次因式之积

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文章关键词:ope体育苹果app,域论

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  (Field Theory)是抽象代数的分支,是不少学科的基础,是代数学中最基本的概念之一,且历史悠久。研究域的性质,简单地说,一个域是在其上有加法、减法、乘法和除法的代数结构。

  域是许多数学分支(如代数代数数论代数几何等)研究的基础,而有限域则在近代编码正交试验设计和计算机理论中都有重要应用,通过理想来研究环,这是研究环的基本方法。但是,由于域只有平凡理想,因此无法通过域的理想来研究域,要研究域,必须采取别的方法,其中最基本的方法就是通过对域添加若干元进行扩张,域的扩张起源于数域的扩张。

  早在19世纪初,伽罗华在研究代数方程的著作里就出现了域的概念的萌芽,后来戴德金(J.W.R.Dedekind)和克罗内克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系统研究域的理论始于韦伯(H.Weber),而域的公理系统是迪克森(L.E.Dickson)和亨廷顿(E.V.Huntington)分别于1903和1905年独立创立的。在韦伯等人的影响下,施泰尼茨(E.Steinitz)对抽象域进行了系统研究,于1910年发表论文“域的代数理论”,对域论本身以及相关科学的发展产生重大影响。

  1881年,利奥波德·克罗内克定义了“有理域”(英文:domain of rationality,德文:Rationalitäts-Bereich),相当于今称之数域。

  1910年,施泰尼茨于1911年发表了论文《域的代数理论》(英文:Algebraic Theory of Fields、德文:Algebraische Theorie der Körper)。论文中他以公理化的方式研究了域的性质并给出了多个域的有关术语,比如素域、完全域,和域扩张的超越次数。

  虽然伽罗瓦并未提出域的概念,但一般被誉为是首个将群论和域论连系起来的数学家,伽罗瓦理论便以他命名。事实上,埃米尔·阿廷在1928至42年间才将群和域的关系大大地发展。

  。由于域是交换单环,无真理想,opebet手机app下载因而域不能像群、环那样,通过对不变子群,商群或理想、商环来讨论。常用的方法是从已知域出发,研究它的

  ,且(E:I),(I:F)皆有限,则(E:F)有限,且(E:F)=(E:I)(I:F)。一般,若

  每一个次数大于0的数系数多项式在给定的数域上未必能分解成一次因式之积,但代数基本定理保证了每一个次数大于0的多项式在复数范围都可分解为一次因式之积。如果F上每一个次数大于0的多项式均可分解为F上一次因式之积,称F为

  ,此时F不再有真的代数扩域。每个域F均存在代数扩域E,使E为代数闭域;复数域是代数闭域。

  若E是F的扩域,对于F上多项式f(x),在E上f(x)可以分解为一次因式之积,并且对F的任一较小扩域I,f(x)在J上不能分解为一次因式之积,称E为f(x)在F上的

  。对于F上每个多项式,同构的意义下均存在唯一的分裂域。一个多项式的分裂域依赖于这个多项式系数所在的域,如

  个元的有限域,且同构意义下唯一。有限域结构简单:若F是有限域,△为F的素域,则存在F中

  )。利用有限域的性质可以构造出各种对称性质的组合结构,如正交拉丁方,平衡区组设计等,这些组合结构有效地应用于试验设计,通信系统等许多实际领域中,特别随着计算机技术蓬勃发展,有限域理论成了广大工程技术人员不可缺少的数学工具。

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